電験取得のための計算の基礎【電気数学のすゝめ5】

電験取得のための第一歩

2023.12.14

5限目　合成抵抗の計算その2

MathMagic Equation – www.mathmagic.com

先生　さて、前回は直列回路の合成抵抗を取り上げました。直列回路で合成抵抗を計算する場合、それぞれの抵抗のたし算で求められたんだよね。それでは、黒板にある図1の合成回路を求める場合、どうすればいいかな？生徒　えっ、直列回路と同じように、たすだけじゃいけないんでしょうか？先生　そこが落とし穴なんだよ。この回路は並列だよね。並列回路の場合、たすだけではダメなんだ。並列回路の合成抵抗を求める場合、公式を利用するんだよ。生徒　そうなんですね！　それなら気がラクです。どんな公式ですか？先生　黒板にある回路図の下をみてごらん。　　　

R = \frac{1}{\frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} + \dots + \frac{1}{R_{n}}}

生徒　なんか、複雑ですね……。
先生　でも、この公式は並列回路の抵抗が、いくつあっても計算できる万能な公式なんだ。早速、黒板の問題にチャレンジしてみよう。
生徒　公式のR₁とR₂に数字を代入すればいいんですよね。
　　　

R = \frac{1}{\frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}}} = \frac{1}{\frac{1}{10} + \frac{1}{30}} = \frac{1}{\frac{3}{30} + \frac{1}{30}} = \frac{1}{\frac{4}{30}} = 1 \div \frac{4}{30} = 1 \times \frac{30}{4} = 1 \times \frac{15}{2} = \frac{15}{2} [Ω]

先生　うん、正解だ。
生徒　やった！　でも、少し覚えにくいんですよね。問題を解いて慣れていくしかないのかな……。
先生　実はね、もう１つ、並列回路の合成抵抗を求める方法があるんだ。
　　　和分の積

R = \frac{R_{1} \times R_{2}}{R_{1} + R_{2}}

生徒　この公式に数字を代入すると……。
　　　

R = \frac{R_{1} \times R_{2}}{R_{1} + R_{2}} = \frac{10 \times 30}{10 + 30} = \frac{300}{40} = \frac{15}{2} [Ω]

　　　「和分の積」という言葉を覚えておけば、すぐに公式が思い出せます！　分数計算もカンタンですね。
先生　合成抵抗がわかったら、電流は求められるよね？
生徒　電流

I = \frac{V}{R} = \frac{18}{\frac{15}{2}} = 18 \div \frac{15}{2} = 18 \times \frac{2}{15} = 6 \times \frac{2}{5} = \frac{12}{5} [A]

です！
先生　うん、しっかり理解しているね。それでは、練習問題に取り組んでみよう。

練習問題
次の図の端子間合成抵抗Rを求めなさい。

答
「和分の積」を使って解く。
（1） $R = \frac{R_{1} \times R_{2}}{R_{1} + R_{2}} = \frac{3 \times 2}{3 + 2} = \frac{6}{5} [Ω]$
（2） $R = \frac{R_{1} \times R_{2}}{R_{1} + R_{2}} = \frac{15 \times 5}{15 + 5} = \frac{75}{20} = \frac{15}{4} [Ω]$
（3） $R = \frac{R_{1} \times R_{2}}{R_{1} + R_{2}} = \frac{7 \times 3}{7 + 3} = \frac{21}{10} [Ω]$
（4） $R = \frac{R_{1} \times R_{2}}{R_{1} + R_{2}} = \frac{2 \times 18}{2 + 18} = \frac{36}{20} = \frac{9}{5} [Ω]$
（5） $R = \frac{R_{1} \times R_{2}}{R_{1} + R_{2}} = \frac{4 \times 8}{4 + 8} = \frac{32}{12} = \frac{8}{3} [Ω]$
（6） $R = \frac{R_{1} \times R_{2}}{R_{1} + R_{2}} = \frac{1 \times 5}{1 + 5} = \frac{5}{6} [Ω]$

別解として「並列接続の合成抵抗の公式」を利用して求めてみる。
（1） $R = \frac{1}{\frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}}} = \frac{1}{\frac{1}{3} + \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{2}{6} + \frac{3}{6}} = \frac{1}{\frac{5}{6}} = 1 \div \frac{5}{6} = 1 \times \frac{6}{5} = \frac{6}{5} [Ω]$
（2） $R = \frac{1}{\frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}}} = \frac{1}{\frac{1}{15} + \frac{1}{5}} = \frac{1}{\frac{1}{15} + \frac{3}{15}} = \frac{1}{\frac{4}{15}} = 1 \div \frac{4}{15} = 1 \times \frac{15}{4} = \frac{15}{4} [Ω]$
（3） $R = \frac{1}{\frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}}} = \frac{1}{\frac{1}{7} + \frac{1}{3}} = \frac{1}{\frac{3}{21} + \frac{7}{21}} = \frac{1}{\frac{10}{21}} = 1 \div \frac{10}{21} = 1 \times \frac{21}{10} = \frac{21}{10} [Ω]$
（4） $R = \frac{1}{\frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}}} = \frac{1}{\frac{1}{2} + \frac{1}{18}} = \frac{1}{\frac{9}{18} + \frac{1}{18}} = \frac{1}{\frac{10}{18}} = 1 \div \frac{10}{18} = 1 \times \frac{18}{10} = 1 \times \frac{9}{5} = \frac{9}{5} [Ω]$
（5） $R = \frac{1}{\frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}}} = \frac{1}{\frac{1}{4} + \frac{1}{8}} = \frac{1}{\frac{2}{8} + \frac{1}{8}} = \frac{1}{\frac{3}{8}} = 1 \div \frac{3}{8} = 1 \times \frac{8}{3} = \frac{8}{3} [Ω]$
（6） $R = \frac{1}{\frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}}} = \frac{1}{\frac{1}{1} + \frac{1}{5}} = \frac{1}{\frac{5}{5} + \frac{1}{5}} = \frac{1}{\frac{6}{5}} = 1 \div \frac{6}{5} = 1 \times \frac{5}{6} = \frac{5}{6} [Ω]$

上記から「並列接続の合成抵抗の公式」から「和分の積」を導くことができる。
　　 $R = \frac{1}{\frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}}} = \frac{1}{\frac{R_{2}}{R_{1} R_{2}} + \frac{R_{1}}{R_{1} R_{2}}} = \frac{1}{\frac{R_{1} + R_{2}}{R_{1} R_{2}}} = 1 \div \frac{R_{1} + R_{2}}{R_{1} R_{2}} = 1 \times \frac{R_{1} R_{2}}{R_{1} + R_{2}} = \frac{R_{1} R_{2}}{R_{1} + R_{2}}$

練習問題
図の回路の合成抵抗R［Ω］と電流I［A］を求めなさい。なお、電流I は次の式を使って求めること。
　　 $電流I = \frac{電圧V}{抵抗R}$

答
（1）合成抵抗Rを求める。
　 $R = \frac{R_{1} \times R_{2}}{R_{1} + R_{2}} = \frac{7 \times 8}{7 + 8} = \frac{56}{15} [Ω]$
電流I は $I = \frac{V}{R} = \frac{8}{\frac{56}{15}} = 8 \div \frac{56}{15} = 8 \times \frac{15}{56} = \frac{15}{7} [A]$

（2）合成抵抗Rを求める。
　 $R = \frac{R_{1} \times R_{2}}{R_{1} + R_{2}} = \frac{2 \times 7}{2 + 7} = \frac{14}{9} [Ω]$
電流I は $I = \frac{V}{R} = \frac{70}{\frac{14}{9}} = 70 \div \frac{14}{9} = 70 \times \frac{9}{14} = 45 [A]$

（3）合成抵抗Rを求める。
　 $R = \frac{R_{1} \times R_{2}}{R_{1} + R_{2}} = \frac{9 \times 6}{9 + 6} = \frac{54}{15} = \frac{18}{5} [Ω]$
電流I は $I = \frac{V}{R} = \frac{54}{\frac{18}{5}} = 54 \div \frac{18}{5} = 54 \times \frac{5}{18} = 15 [A]$

（4）合成抵抗Rを求める。
　 $R = \frac{R_{1} \times R_{2}}{R_{1} + R_{2}} = \frac{3 \times 6}{3 + 6} = \frac{18}{9} = 2 [Ω]$
電流I は $I = \frac{V}{R} = \frac{30}{2} = 15 [A]$

先生　抵抗が2つ接続された並列回路の計算はこなせるようになったね。さて、次はもう少し難しい問題にチャレンジしてみようか。実際に出題される問題の回路には抵抗が3つ、4つ接続されているから、この場合も計算できるようにしておかないとならないね。そこで、黒板の問題だ。どうやって解こうか？
生徒　う～ん、まずは「並列接続の合成抵抗の公式」で解くと……。
　　　 $R = \frac{1}{\frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} + \frac{1}{R_{3}}} = \frac{1}{\frac{1}{30} + \frac{1}{15} + \frac{1}{10}} = \frac{1}{\frac{1}{30} + \frac{2}{30} + \frac{3}{30}} = \frac{1}{\frac{6}{30}} = 1 \div \frac{6}{30} = 1 \times \frac{30}{6} = 1 \times 5 = 5 [Ω]$
先生　うん、そうなるね。今度は「和分の積」で合成抵抗を求めてみてよ。
生徒　「和分の積」で解くと……。
　　　 $R = \frac{30 \times 15 \times 10}{30 + 15 + 10} = \frac{4500}{55} = \frac{900}{11}$
　　　あれ、答えが違う。なんでだろう？
先生　これは間違えることが多いんだ。「和分の積」が成り立つのは抵抗が2つのときだけなんだ。
生徒　それじゃあ「並列接続の合成抵抗の公式」を利用するしかないんですね。抵抗が4つも5つもあると、通分なんか大変だなぁ～。でも、やるしかないのか……。
先生　そんなにゲンナリしないで。せっかく「和分の積」をマスターしたんだから、これを応用して計算してみよう。
生徒　応用？
先生　そう。回路の考え方を変えるんだ。並列回路のポイントは抵抗を2つになるように分けて考えること。抵抗が2つなら「和分の積」が使えるよね。
生徒　う～ん……。
先生　よし、実際にやってみようか。黒板の図3のように、抵抗R₁とR₂の並列接続のみを考えてみよう。この合成抵抗をR₄とすると、いくつになるかな？
生徒　「和分の積」を使って、
　　　 $R_{4} = \frac{R_{1} \times R_{2}}{R_{1} + R_{2}} = \frac{30 \times 15}{30 + 15} = \frac{450}{45} = 10 [Ω]$
　　　と求められます。
先生　そうすると、図4のように抵抗R₄と抵抗R₃の並列回路になるよね。もうわかったかな？
生徒　また「和分の積」を使えばいいんだ！
　　　 $R = \frac{R 3 \times R_{4}}{R 3 + R_{4}} = \frac{10 \times 10}{10 + 10} = \frac{100}{20} = 5 [Ω]$
　　　だから、電流は $I = \frac{V}{R} = \frac{18}{5} [A]$ ですね。
先生　うん、正解だ！　これで2つ以上の抵抗が並列につながっていても解けるね。並列接続の合成抵抗の公式を使うか、「和分の積」の応用で計算するか、自分のやりやすいほうで選ぶといいよ。それじゃあ、最後に練習問題に取り組んで今回は終わりにしよう。
生徒　はい、ありがとうございました！

練習問題
次の図の端子間の合成抵抗Rを求めなさい。

答
（1）抵抗R₁と抵抗R₂の合成抵抗R₄を求める。
　 $R_{4} = \frac{R_{1} \times R_{2}}{R_{1} + R_{2}} = \frac{1 \times 2}{1 + 2} = \frac{2}{3} [Ω]$
　回路図は図6になる。ここから抵抗R₄と抵抗R₃の合成抵抗Rを求める。
　 $R = \frac{R_{4} \times R_{3}}{R_{4} + R_{3}} = \frac{\frac{2}{3} \times 3}{\frac{2}{3} + 3} = \frac{\frac{2}{3} \times 3}{\frac{2}{3} + \frac{9}{3}} = \frac{\frac{6}{3}}{\frac{11}{3}} = \frac{6}{3} \div \frac{11}{3} = \frac{6}{3} \times \frac{3}{11} = \frac{6}{11} [Ω]$
（2）抵抗R₁と抵抗R₂の合成抵抗R₄を求める。
　 $R_{4} = \frac{R_{1} \times R_{2}}{R_{1} + R_{2}} = \frac{5 \times 8}{5 + 8} = \frac{40}{13} [Ω]$
　回路図は図7になる。ここから抵抗R₄と抵抗R₃の合成抵抗Rを求める。
　 $R = \frac{R_{4} \times R_{3}}{R_{4} + R_{3}} = \frac{\frac{40}{13} \times 7}{\frac{40}{13} + 7} = \frac{\frac{280}{13}}{\frac{40}{13} + \frac{91}{13}} = \frac{\frac{280}{13}}{\frac{131}{13}} = \frac{280}{13} \div \frac{131}{13} = \frac{280}{13} \times \frac{13}{131} = \frac{280}{131} [Ω]$
（3）抵抗R₁と抵抗R₂の合成抵抗R₄を求める。
　 $R_{4} = \frac{R_{1} \times R_{2}}{R_{1} + R_{2}} = \frac{9 \times 3}{9 + 3} = \frac{27}{12} = \frac{9}{4} [Ω]$
　回路図は図8になる。ここから抵抗R₄と抵抗R₃の合成抵抗Rを求める。
　 $R = \frac{R_{4} \times R_{3}}{R_{4} + R_{3}} = \frac{\frac{9}{4} \times 3}{\frac{9}{4} + 3} = \frac{\frac{27}{4}}{\frac{9}{4} + \frac{12}{4}} = \frac{\frac{27}{4}}{\frac{21}{4}} = \frac{27}{4} \div \frac{21}{4} = \frac{27}{4} \times \frac{4}{21} = \frac{9}{7} [Ω]$