電験取得のための計算の基礎【電気数学のすゝめ6】

電験取得のための第一歩

2024.01.26

6限目　合成抵抗の計算その3

先生　前回は複雑な並列回路の合成抵抗を取り上げました。今回は合成抵抗を求める回路でも、知っておくと便利なパターンに取り組んでみよう。分数計算の力もつくし、合成抵抗の求め方まで覚えられるから一石二鳥だ。
生徒　えっ、そろそろカンベンしてほしいな……。
先生　まあまあ。前回は少し難易度の高い計算も多かったから、復習問題を用意したよ。まずは、これを解くことから始めようか。
生徒　は～い。

MathMagic Equation – www.mathmagic.com

練習問題 次の回路の合成抵抗Rと電流Iを求めなさい。なお、電流Iは次の式を使って求めること。電流

= \frac{電圧}{抵抗}

答
（1）抵抗R₁と R₂との合成抵抗R₄を求める。
$R_{4} = \frac{R_{1} \times R_{2}}{R_{1} + R_{2}} = \frac{2 \times 4}{2 + 4} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$
　すると、回路図は図1（a）のようになる。ここで、抵抗R₄とR₃の合成抵抗Rは、
　　 $R = \frac{R_{4} \times R_{3}}{R_{4} + R_{3}} = \frac{\frac{4}{3} \times 6}{\frac{4}{3} + 6} = \frac{8}{\frac{4}{3} + \frac{18}{3}} = \frac{8}{\frac{22}{3}} = 8 \times \frac{3}{22} = \frac{12}{11} [Ω]$
　よって、回路図は図1（b）のようになる。
　ここから、電流Iは問題文より、
　　 $I = \frac{32}{\frac{12}{11}} = 32 \div \frac{12}{11} = 32 \times \frac{11}{12} = \frac{88}{3} [A]$
と求めることができる。

（2）抵抗R₁とR₂との合成抵抗R₄を求める。
　　 $R_{4} = \frac{R_{1} \times R_{2}}{R_{1} + R_{2}} = \frac{3 \times 5}{3 + 5} = \frac{15}{8} [Ω]$
　すると、回路図は図2（a）のようになる。ここで、抵抗R₄とR₃の合成抵抗Rは、
　　 $R = \frac{R_{4} \times R_{3}}{R_{4} + R_{3}} = \frac{\frac{15}{8} \times 7}{\frac{15}{8} + 7} = \frac{\frac{105}{8}}{\frac{15}{8} + \frac{56}{8}} = \frac{\frac{105}{8}}{\frac{71}{8}} = \frac{105}{8} \div \frac{71}{8} = \frac{105}{8} \times \frac{8}{71} = \frac{105}{71} [Ω]$
　よって、回路図は図2（b）のようになる。
　ここから、電流Iは問題文より、
　　 $I = \frac{60}{\frac{105}{71}} = 60 \div \frac{105}{71} = 60 \times \frac{71}{105} = 4 \times \frac{71}{7} = \frac{284}{7} [A]$
と求めることができる。

（3）抵抗R₁と R₂との合成抵抗R₄を求める。
　　 $R_{4} = \frac{R_{1} \times R_{2}}{R_{1} + R_{2}} = \frac{8 \times 2}{8 + 2} = \frac{16}{10} = \frac{8}{5} [Ω]$
　すると、回路図は図3（a）のようになる。ここで、抵抗R₄とR₃の合成抵抗Rは、
　　 $R = \frac{R_{4} \times R_{3}}{R_{4} + R_{3}} = \frac{\frac{8}{5} \times 7}{\frac{8}{5} + 7} = \frac{\frac{56}{5}}{\frac{8}{5} + \frac{35}{5}} = \frac{\frac{56}{5}}{\frac{43}{5}} = \frac{56}{5} \div \frac{43}{5} = \frac{56}{5} \times \frac{5}{43} = \frac{56}{43} [Ω]$
　よって、回路図は図3（b）のようになる。
　ここから、電流Iは問題文より、
　　 $I = \frac{160}{\frac{56}{43}} = 160 \div \frac{56}{43} = 160 \times \frac{43}{56} = 20 \times \frac{43}{7} = \frac{860}{7} [A]$
と求めることができる。

生徒　ふぅ～、何とかできました。
先生　よし！　フル回転している状態のまま、次の練習問題にトライしてみよう。
生徒　……。

練習問題
次の回路図の端子間合成抵抗Rを求めなさい。

答
　それぞれ「和分の積」を使って端子間合成抵抗Rを求める。
（1） $R = \frac{R_{1} \times R_{2}}{R_{1} + R_{2}} = \frac{7 \times 7}{7 + 7} = \frac{49}{14} = \frac{7}{2} [Ω]$
（2） $R = \frac{R_{1} \times R_{2}}{R_{1} + R_{2}} = \frac{3 \times 3}{3 + 3} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} [Ω]$
（3） $R = \frac{R_{1} \times R_{2}}{R_{1} + R_{2}} = \frac{9 \times 9}{9 + 9} = \frac{81}{18} = \frac{9}{2} [Ω]$

生徒　よし、できた！　いままで抵抗が3つの並列回路だったから、抵抗が2つの場合はやりやすかった。この問題は抵抗R₁と R₂の値も同じだから約分も簡単だったし……。
先生　うん、全問正解だよ。
生徒　なんで、いまになって取り組みやすい問題を？
先生　実はね、この問題は暗算で解答できるんだ。
生徒　えっ!?　本当ですか？
先生　合成抵抗Rの値と、それぞれの回路の抵抗R₁と R₂の値に注目してみてよ。
生徒　う～ん、抵抗R₁と R₂の値が同じで……　あっ、合成抵抗Rが抵抗R₁とR₂の $\frac{1}{2}$ になっている！
先生　そう、そのとおり。抵抗値が同じものを2つ並列に接続した場合、その合成抵抗Rは抵抗R₁（＝R₂）の $\frac{1}{2}$ になるんだ。これなら計算しなくても暗算で解けるでしょう。

生徒　以前、先生に「実際に出題される問題は、抵抗が3つとか4つとか接続されている回路」って教わったけど、このパターンで抵抗が3つある場合はどうなるんですか？
先生　いいところに疑問を持ったね。試しに次の問題をやってみよう。

練習問題
次の回路図の端子間合成抵抗Rを求めなさい。

答
　黒板にあるように、抵抗R₁と R₂の合成抵抗 $R_{4} = \frac{7}{2} [Ω]$ となる。ここから、抵抗抵抗R₄と R₃の合成抵抗Rは、
　 $R = \frac{R_{3} \times R_{4}}{R_{3} + R_{4}} = \frac{7 \times \frac{7}{2}}{7 + \frac{7}{2}} = \frac{\frac{49}{2}}{\frac{14}{2} + \frac{7}{2}} = \frac{\frac{49}{2}}{\frac{21}{2}} = \frac{49}{2} \div \frac{21}{2} = \frac{49}{2} \times \frac{2}{21} = \frac{7}{3} [Ω]$
と求めることができる。
生徒　あっ！　先生、3つの場合の合成抵抗Rは抵抗R₁（＝R₂＝R₃）の $\frac{1}{3}$ になる!!
先生　そうなんだ。抵抗の値が等しい場合、並列接続の合成抵抗は「 $\frac{抵抗値}{並列接続した抵抗の数}$ 」になるんだよ。これを覚えておけば、抵抗が3つでも4つでも暗算で求めることができるね。さて、今日はここまでにしようか。
生徒　はい、ありがとうございました！

（講師／村山慎一）

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